Из опыта работы

 Система формирования геометрических представлений младших школьников на уроках математики

(программа М.И. Башмакова, М.Г. Нефедовой , УМК «Планета знаний»).

         Одной из целей начального математического образования является формирование у младших школьников системы пространственных представлений, знакомство их с различными геометрическими фигурами и некоторыми свойствами, с простейшими чертежами и измерительными приборами. Согласно ФГОС НОО, работа по изучению геометрического материала способствует развитию универсальных учебных действий, что является необходимым для ученика современной школы.

Достижение цели реализуется путем решения следующих задач:

1) формирование геометрических представлений о геометрических фигурах, их элементов, отношений между фигурами и их элементами;

2) выработка практических умений и навыков в измерениях и построении простейших геометрических фигур с помощью чертежных инструментов;

3) развитие пространственных представлений, воображения и пространственного мышления учащихся;

4) обогащение математического словарного запаса, развитие речи учащихся.

Изучение элементов геометрии начинается ещё в дошкольном образовательном учреждении. На занятиях дети с удовольствием знакомятся с геометрическими фигурами, их формой, учатся сравнивать их, исследуют, изображают на бумаге, выполняют аппликации из геометрических фигур. Данная работа является прекрасной подготовкой к систематическому усвоению курса на школьной ступени обучения.

В начальной школе происходит ознакомление младших школьников с основными геометрическими фигурами (точкой, прямой, треугольником, прямоугольником и др.), свойствами, отношениями этих фигур и ознакомление с геометрической формой предметов реального мира.

Проанализируем программу начального курса математики Башмакова М.И. с целью выявления последовательности формирования геометрических представлений у детей младшего школьного возраста, выявим планируемые результаты изучения данного материала.

В 1 классе на изучение геометрического материала отводится по программе 23 часа. В разделе «Сравниваем предметы» дети вспоминают название геометрических фигур, сравнивают их по форме, размеру и цвету. На изучение раздела «Рисуем и измеряем» отводится 20 часов. Учащиеся знакомятся и осваивают следующий материал:

Точка, отрезок. Распознавание геометрических фигур - знакомство с новыми геометрическими фигурами – точка, отрезок, овал, прямоугольник.

Линии - знакомство с новыми геометрическими понятиями «прямая линия», «кривая», «пересекающие линии», «непересекающееся линии»; тренировка в проведении линий по линейке.

Отрезок и ломаная - формирование представлений об отрезке и ломаной; умение чертить отрезки и ломанные по линейке.

Многоугольники - формирование представлений о многоугольниках.

Измерение длины отрезка – формирование умения измерять длину отрезка с помощью линейки.

«Симметрия» - формирование первоначальных представлений о симметричности фигур на уровне наглядных представлений.

Равенство фигур – формирование представлений о равенстве фигур; знакомство с понятиями прямой угол на уровне наглядных представлений.

Длина ломаной – способы её нахождения. Периметр – способ его нахождения.

Площадь формирование представлений об измерении площади одинаковыми геометрическими фигурами (квадратами, прямоугольниками и др.Плоские и объёмные предметы.

      Мы видим, что с простейшей геометрической фигурой точкой учащиеся знакомятся с первых шагов обучения в 1 классе. Готовясь к письму цифр, дети выполняют такие задания: поставьте точку в середине клеточки (в левом нижнем углу клетки, в середине левой стороны клетки и т.п.); соедините поставленные точки отрезком по образцу - воспроизводят бордюрные рисунки по заданным точкам. 

В дальнейшем идёт знакомство с прямой линией. Процесс формирования представлений происходит путём выполнения ими разнообразных практических упражнений. При этом прямую линию сопоставляют с кривой. Например, натягивают нить (ленту), затем ослабляют ее так, так чтобы она провисала или свободно располагалась; рассматривают рисунки с прямыми дорогами и извилистыми тропинками; разрезают лист бумаги по линии, полученной перегибанием листа, и т.п. каждый раз выясняют, какая получилась линия - прямая или кривая. В процессе выполнения разнообразных упражнений дети обобщают свои наблюдения: через одну точку можно провести сколько угодно прямых или кривых линий; через две точки можно провести сколько угодно кривых линий и только одну прямую.

С отрезком прямой учащиеся также знакомятся практически: от ленты (образ прямой) отрезают некоторую часть. Учитель уточняет у детей: «Что получили?» (часть прямой). Затем, начертив прямую, дети отмечают на ней две точки и выделяют цветом часть прямой, заключенную между поставленными точками. Учитель вновь уточняет: «Что выделено на чертеже цветом и точками?» (часть прямой) и поясняет, что эту часть прямой от одной точки до другой называют отрезком прямой, или кратко - отрезком, а точки - концами отрезка.

Опираясь на понятие отрезка, учащихся знакомятся с ломаной линией. Для этого по образцу, данному учителем, школьникам предлагают построить линию из палочек или бумажных полосок. Учитель дает название новой линии. Можно изготовить также модель ломаной, «сломав» на глазах у детей на части тонкую лучинку или макаронину.

В процессе упражнений устанавливают связь между замкнутой ломаной линией и многоугольником, для которого ломаная линия является границей: замкнутая ломаная линия из трех звеньев ограничивает треугольник, из четырех звеньев - четырехугольник и т.д. Далее идёт знакомство учащихся с понятием длина ломаной линий: измерить звенья ломаной и сложить полученные длины. Вводится понятие  периметр многоугольника.

Далее дети знакомятся с понятием площадь, как свойство плоских предметов. Формируется представление об измерении площади одинаковыми геометрическими фигурами (квадратами, прямоугольниками и др.)

Во втором классе на основе повторения изученного даются новые понятия. 

2 класс

Длина, площадь, объём – повторение понятий, знакомство с «единичным отрезком», «единичным квадратом», «единичным кубом».

Название геометрических фигур.

Распознавание геометрических фигур – различие геометрических фигур на рисунках; формирование умения чертить линии и геометрические фигуры с помощью линейки.

Углы – знакомство с видами углов (прямой, острый, тупой) и различение их на рисунках; формирование умения чертить прямые углы с помощью угольника.

Четырёхугольники – знакомство с некоторыми свойствами сторон и углов четырёхугольников; знакомство с понятием «диагональ прямоугольника».

Треугольники – виды треугольников (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный); различие их на рисунках.

Измерение длины – формирование первоначальных представлений о метрических соотношениях между единицами длины. Сантиметр и миллиметр.

Площадь прямоугольника – знакомство с названиями единиц площади; формирование представлений о вычислении площади прямоугольника с помощью умножения.

   В процессе работы над многоугольниками учащиеся получают первые сведения об углах (угол образуют две стороны многоугольника, выходящие из одной из вершины), учатся показывать углы многоугольника. Далее школьники знакомятся с прямым углом. Дети под руководством учителя изготавливают модель прямого угла, знакомятся с углом меньшим прямого – острым, большим прямого – тупым.

При изучении отдельных видов многоугольников, вычленяют элементы многоугольников (стороны, углы, вершины). При рассматривании треугольника можно выполнить следующие упражнения: дети сами моделируют треугольники из палочек и кусочков пластилина или из полосок бумаги; обозначив вершины точками, школьники чертят и раскрашивают треугольники в тетрадях; дети находят предметы окружающего мира, имеющие форму треугольников; школьники выделяют треугольники среди других геометрических фигур.

Знакомство с различными видами треугольников (равносторонние, равнобедренные и разносторонние, прямоугольные, тупоугольные и остроугольные) позволяет формировать правильное представление о треугольнике. Далее в таком же плане рассматривают четырехугольники, пятиугольники и т.д.

Во втором и третьем классе идёт дальнейшее углубление понятия периметр, как сумма длин сторон многоугольника. Ведётся работа по формированию соотношений единиц длины (сантиметра, миллиметра, дециметра, метра), отработка навыков перевода в заданные единицы. Далее дети знакомятся с единицами площади, формируется представление по нахождению площади при помощи умножения длины и ширины.

Особое внимание следует уделять сопоставлению площади и периметра многоугольников с тем, чтобы дети не смешивали эти понятия и в дальнейшем четко различали задачи нахождения площади и периметра прямоугольника. Выполняя практические упражнения с геометрическими фигурами, дети подсчитывают число квадратных сантиметров и тут же измеряют периметр многоугольника. Позднее школьники рассматривают прямоугольники, которые уже разделены на квадратные сантиметры. Их площадь находят путем подсчета квадратных сантиметров в одном ряду, а затем полученное число умножают на число рядов. Таким способом учащиеся приходят к методу вычисления площади прямоугольника. В третьем классе идёт первоначальное представление о вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда, знакомство с единицами объёма (кубический сантиметр, кубический метр, кубический дециметр)

3 класс

Периметр многоугольника – повторение вычисления периметра многоугольника, формирование умения вычислять периметр прямоугольника, стороны которого выражены в разных единицах измерения.

Единицы длины – повторение единиц длины (метр, сантиметр, миллиметр), метрические соотношения между ними; формирование представлений о десятичном принципе построения системы единиц длины; формирование умений переводить метры в сантиметры.

Дециметр – знакомство с понятием «дециметр»; формирование умений переводить миллиметры в сантиметры.

Площадь прямоугольника - повторение единиц площади (квадратный сантиметр, квадратный метр); вычисление площади прямоугольника.

Измерение объёма - развитие пространственных представлений; формирование первоначальных представлений о вычислении объема прямоугольного параллелепипеда (без термина); знакомство с единицами объема (кубический сантиметр, кубический метр, кубический дециметр).

Площадь квадрата - знакомство с понятием «квадрат числа», обозначение единиц площади (см² и др.)

Окружность и круг - знакомство с понятиями «окружность», «круг», «радиус», «диаметр»; формирование умений чертить окружность с помощью циркуля; делить круг на равные части с помощью линейки и циркуля.

  Дети учатся чертить окружности с помощью циркуля, знакомятся с элементами окружности и круга - центром и радиусом. Все эти сведения усваиваются детьми в процессе практических упражнений. Например, соединив точки, лежащие на окружности с центром и сравнив полученные отрезки, дети убеждаются в равенстве этих отрезков. Вводится название таких отрезков - радиус круга или окружности. Сопоставив круг с многоугольником, учащиеся устанавливают, что границей многоугольника является замкнутая ломаная линия, а границей круга - замкнутая кривая линия - окружность. Чтобы учащиеся не смешивали круг и окружность, даются специальные упражнения, например: проведите окружность и раскрасьте круг; отметьте центр круга или окружности; укажите точки, лежащие внутри круга, вне круга, на границе круга (окружности); отметьте точки, лежащие на окружности и лежащие вне окружности и т.п.

4 класс

Соотношение между единицами длины (метр, дециметр, сантиметр, миллиметр, километр) – формирование умения выражать длину в заданных единицах; сравнение величин, сложение, вычитание и умножение величин.

Периметр многоугольника – повторение вычисления периметра многоугольника.

Площадь прямоугольника – повторение определения площади многоугольника, вычисление стороны прямоугольника если известна площадь и одна из сторон; знакомство с формулой площади прямоугольника.

Геометрические фигуры –формирования представления о плоских и пространственных геометрических фигурах.Четырёхугольники – формирование представления об общих свойствах и различиях прямоугольника и квадрата.

Треугольники – виды треугольника; формирование умения изображать геометрические фигуры на клетчатой бумаге.

Куб – знакомство с многогранниками на примере куба; формирование умения изображать геометрические фигуры на клетчатой бумаге.

Единицы площади (кв. метр) – повторение основной единицы площади (кв. м.) Единицы площади (кв. дм.; кв. см) – знакомство с новой единицей площади (кв. дм.); формирование представления о соотношениях между кв. дм. и кв.см.; выражение площади в разных единицах; сравнение единиц площади.

Соотношение между единицами площади.

Единицы площади (ар, гектар, кв. километр) – знакомство с единицами площади, которые используются для измерения больших участков

Распознавание геометрических фигур - отработка умения различать геометрические фигуры на рисунке, выделение их общих свойств и отличия

Построение геометрических фигур – отработка умения изображать геометрические фигуры с помощью линейки и циркуля.

Измерение длины – обобщение знаний о единицах длины; отработка умения измерять длину отрезка, изображать отрезок заданной длины; вычислять периметр прямоугольника; использование формул.Измерение площади – обобщение знания о единицах площади; отработка умения определять площадь геометрических фигуры на клетчатой бумаге; вычисление площади прямоугольника по формуле.

    В четвёртом классе идёт повторение и обобщение приобретённых знаний учащимися, уделяется особое внимание соотношению как единиц длины между собой, так и единиц площади. Вводятся формулы нахождения периметра прямоугольника, квадрата (P=(a+b)_x2; P=a_x4). Идёт знакомство с формулами нахождения периметра и площади прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника(S=a_xb; S=a_xa; S=a_xb:2). Знакомятся с единицами площади, которые используют при измерении больших участков – ар, гектар. Продолжается работа с многогранниками: дети учатся изображать пространственные геометрические фигуры на клетчатой бумаге.

Краткий анализ содержания программы Башмакова М.И. начального курса математики по вопросу система формирования геометрических представлений младших школьников позволяет сделать следующие выводы:

1. Геометрический материал изучается на протяжении всего периода обучения математике в начальной школе.

2. Содержание геометрического материала для каждого класса предусмотрено с учетом возрастных особенностей и уровня развития мышления учащихся, круг формируемых у детей представлений о различных геометрических фигурах и некоторых их свойствах расширяется постепенно.

3. В данной программе математики рассматриваются точки, прямые и кривые линии (в том числе ломаную), прямой угол, многоугольники различных видов (треугольники, квадраты, прямоугольники, и др.) и их элементы (углы, вершины, стороны), круг, окружность, свойства геометрических фигур (равенство противоположных сторон прямоугольника, равенство диагоналей прямоугольника), понятия «периметр» и «площадь», а также приемы их вычисления.

4. Идёт ознакомление младших школьников с классификацией углов (острый, прямой, тупой), двумя видами классификаций треугольников (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный; произвольный, равнобедренный, равносторонний), стереометрическими телами (куб, прямоугольный параллелепипед, пирамида, шар, конус) и их изображением на плоскости, элементарными задачами на построение при помощи циркуля и линейки, симметрией.

5. Система упражнений, представленных в учебно-методических пособиях, направлена на формирование практических умений (построение, вычерчивание, измерение, вычисления с использованием некоторых изучаемых свойств) и на развитие геометрической зоркости